Analyse, structures géométriques spéciales et stabilité algébrique des variétés complexes.

«Ce projet de recherche portant sur la géométrie riemannienne a pour but d’étudier certaines métriques riemanniennes spéciales sur des variétés lisses. Les idées fondatrices du domaine remontent à Bernhard Riemann, qui au XIX-ème siècle a proposé de considérer des géométries non-euclidiennes en autorisant la variation des propriétés métriques en chaque point. La géométrie riemannienne a conduit à une généralisation capitale de la théorie des surfaces de l’espace euclidien, et son développement a produit de nombreux résultats fondamentaux comme par exemple la classification des courbes complexes fermées au début du XX-ème siècle par Felix Klein, Paul Koebe et Henri Poincaré. Les techniques de géométrie riemannienne peuvent être appliquées pour étudier des variétés différentiables de plus grande dimension et cela a permis la formulation de la théorie de la relativité générale d’Einstein et plus récemment de la théorie des cordes en physique.

Au sein de ce vaste et fécond sujet, notre projet de recherche se concentrera sur les variétés dites complexes. Ces dernières apparaissent naturellement en géométrie algébrique, une branche des mathématiques qui étudie l’ensemble des zéros de polynômes à plusieurs variables complexes, ces ensembles formant des variétés dites projectives. L’exemple le plus simple de variété projective est une surface orientée fermée dans l’espace euclidien, qui peut être décrite comme le lieu des zéros de polynômes à plusieurs variables complexes, et qui est vue comme une courbe complexe fermée. Le célèbre théorème de classification de Poincaré mentionné précédemment dit qu’une telle courbe est soit la sphère, soit un quotient du plan complexe par des translations, ou alors un quotient du disque unité du plan complexe par un sous-groupe discret des transformations de Möbius. Grâce à des outils puissants de la théorie des équations aux dérivées partielles, ce résultat fondamental peut être établi en prouvant l’existence d’une métrique riemannienne à courbure de Gauss constante dans chaque classe conforme. Cette approche analytique a aussi des conséquences profondes pour la compréhension de l’espace de modules des structures complexes existant sur une courbe complexe donnée. En s’inspirant de cette approche, notre projet s’attaquera à des questions prenantes et bien actuelles apparaissant naturellement en géométrie complexe et ayant des ramifications importantes en physique mathématique. Elles ont comme point commun la nécessité d’utiliser des outils à la fois de la géométrie algébrique, de la géométrie riemannienne et de l’analyse globale. Les expertises des membres de l’équipe sont tout à fait complémentaires et couvrent ce très large champ de techniques. Ainsi, notre projet prend racine sur un domaine particulièrement fertile. Il donnera lieu non seulement à des collaborations des plus fructueuses entre les membres de l’équipe, mais sera également l’occasion de former des personnes hautement qualifiées en respectant les standards internationaux les plus stricts.»