Larges sommes de caractères de Dirichlet et structures de réseaux

Les caractères de Dirichlet sont utilisés afin de mieux comprendre les nombres premiers et les questions reliées. Ces fonctions, définies par 2 propriétés encodant à la fois les structures additive et multiplicative des nombres entiers, sont difficiles à cerner et l’on a donc recourt à une approche statistique, notamment la moyenne, afin de mieux comprendre leur comportement sur les entiers. Ainsi, on étudie l’ordre de grandeur de la somme d’un caractère appliqué sur chaque entiers jusqu’à une valeur x donnée afin de comprendre le comportement moyen de la fonction jusqu’à x. En général, on s’intéresse particulièrement à trouver une borne supérieure pour la somme de caractères et cette question a fait l’objet d’un étude approfondie dans les dernières années, mais afin de déterminer la pertinence d’une borne supérieure, il est souvent nécessaire d’obtenir une borne inférieure sur la somme de caractères afin de pouvoir établir un ordre de grandeur moyen pour la fonction.

Ce projet de recherche s’inscrit dans cette optique et vise à poursuivre un projet récent dans lequel la question de l’ordre de grandeur de la somme de caractères a été presque résolue. En effet, la borne inférieure obtenue est aussi grande que celle à laquelle on s’attend pour presque tous les intervalles de sommation [1,x] et le projet consistera à finaliser le résultat en validant la borne obtenue pour la totalité des valeurs de x pertinentes pour les caractères étudiés. Ces résultats permettent d’obtenir de l’information importante sur les caractères et donc d’acquérir de l’information sur les nombres premiers et donc sur les entiers et autres questions les concernant.

De façon collatérale, nos méthodes passent pas le biais de l’étude de réseaux (treillis) et nous ont permis d’obtenir des résultats intéressants sur leur structure. La compréhension de ceux-ci est importante notamment en théorie des nombres et en informatique et nos résultats ont donc un intérêt indépendant. Ainsi, le projet aura comme second objectif de poursuivre l’étude de la structure de ces réseaux.