Méthodes de collocation spectrale comprimée pour les EDPs en haute dimension

Les équations aux dérivées partielles (EDPs) sont un outil de modélisation essentiel en sciences, avec des applications clés au sein d’une variété de domaines tels que l’ingénierie, la chimie, la physique, la biologie, l’économie ou la finance. Une classe importante de modèles est constituée par les EDPs en haute dimension, telles que l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman en théorie du contrôle optimal, l’équation de Black-Scholes en finance computationnelle, l’équation de Schrödinger en mécanique quantique et l’équation de Fokker-Planck en statistique mécanique. Ces EDPs sont caractérisées par le fait que la solution inconnue dépend de plusieurs variables (éventuellement, des centaines ou des milliers). Cela rend leur solution numérique intrinsèquement difficile en raison de la malédiction de la dimensionalité.

Dans le cadre de ce projet, nous développerons et analyserons une nouvelle génération de solveurs numériques pour les EDPs en haute dimension basés sur le paradigme récemment introduit de la collocation spectrale comprimée. Inspirés par les avancées récentes dans l’approximation polynomiale parcimonieuse de fonctions en haut dimension, les solveurs proposés s’attaqueront à la malédiction de la dimensionnalité en mettant à profit des principes clés tels que l’échantillonnage Monte Carlo, la parcimonie pondérée et l’approximation gloutonne structurée. L’objectif global est de développer une nouvelle classe de solveurs capables de rivaliser avec des approches de pointe telles que celles basées sur des développements de rang faible ou sur l’apprentissage profond et qui, en même temps, admettent des garanties de performances théoriques rigoureuses.

Nous considérerons également plusieurs extensions et applications. Il s’agit notamment de: (i) généraliser les techniques proposées au cas des EDPs en dimension infinie; (ii) développer de nouvelles méthodes de collocation spectrale comprimée basées sur des extensions parcimonieuses de caractéristiques aléatoires; (iii) montrer des théorèmes d’existence pratique pour l’approximation des EDP de haute dimension basés sur l’apprentissage profond.

Ce projet permettra de faire avancer les connaissances fondamentales en mathématiques computationnelles et en mathématiques de la science des données. Il a le potentiel d’avoir un impact substantiel sur les communautés scientifiques où les solveurs d’EDP en haute dimension sont très demandés, tels que la chimie quantique computationnelle, la théorie du contrôle, la mécanique statistique et la finance computationnelle. De plus, en déployant de nouveaux algorithmes en tandem avec des garanties théoriques rigoureuses, ce projet contribuera au développement d’une technologie sûre et fiable pour l’ensemble de la société québécoise.