Statistiques de tordues cubiques de fonctions L et d'autres familles

Les fonctions L se trouvent au cœur de la théorie analytique des nombres, car elles encodent les propriétés de plusieurs objets importants provenant de l’arithmétique et de la géométrie, comme les nombres premiers, les extensions des nombres rationnels et les variétés algébriques. Nous proposons d’étudier deux problèmes provenant de la théorie des fonctions L.

La première partie de notre proposition concerne le comportement analytique de quelques fonctions L associées aux caractères cubiques de Dirichlet. Elles tombent dans deux catégories principales : les fonctions L de Dirichlet des caractères cubiques et les tordues cubiques de fonctions L d’une courbe elliptique. Bien que la théorie soit bien comprise pour les caractères quadratiques, le cas cubique est beaucoup plus compliqué et des nouveaux phénomènes arrivent, notamment dû au comportement chaotique d’un paramètre appelé «la somme de Gauss cubique».  Notre équipe a réalisé des avancements significatifs récents au sujet de tordues cubiques. Nous proposons de continuer cette ligne de recherche afin de perfectionner notre compréhension du sujet.

Dans notre deuxième sous-projet, nous proposons d’étudier des modèles aléatoires de familles de fonctions L.  Notre but est de comprendre comment la loi des variables aléatoires du modèle affecte la répartition de ses zéros. Le but ultime de ce projet est alors d’isoler les propriétés cruciales qui déterminent ce qu’on appelle la «symétrie» d’une famille de fonctions L.