Variétés de Poisson holonomiques et groupes de Galois motiviques

La géométrie algébrique noncommutative, initiée et dévelopée par M. Artin, A. Bondal, C. Ingalls, M. Kontsevich, P. Smith, P. Stafford, M. Van den Bergh, J. Zhang et autres, concerne l’interaction entre divers types de géométrie (algébrique, différentielle, symplectique, etc.) et l’algèbre (des anneaux, des catégories, etc.). Elle est motivée par un des problèmes centraux de la physique mathématique: étant donné un système mécanique classique, comment est-ce qu’on peut décrire son analogue quantique?

En termes mathématiques, on part d’une variété lisse munie d’un crochet de Poisson (l’espace des phases classique), et on déforme la multiplication des fonctions pour en construire une algebre noncommutative qui modélise les observables quantiques. L’existence d’une telle « quantification par déformation » est un théorème profond de Kontsevich (cité pour sa médaille Fields). Il donne une série perturbative de Feynman pour le produit déformé. En principe, cette formule donne une outil puissant pour relier des problèmes difficiles en algèbra aux problèmes plus simples en géométrie, et réciproquement. Mais en practique, ses coefficients (intégrales de Feynman) sont transcendentaux, sa convergence est inconnue, et son calcul direct est impossible.

Une des questions difficiles à propos de la formule de Kontsevich est la mesure dans laquelle elle est unique. Les travaux de A. Alekseev, V. Dolgushev, C. Torossian, C. Rogers, C. Rossi, T. Willwacher, et autres éstablissent que les règles de Feynman qu’on utilise pour construire la formule peuvent être modifiées, donnant une infinité de formules de quantification différentes qui sont conjecturalement reliées l’une a l’autre par une action du groupe de Galois motivique. On sait aussi que cet effet peut être décrit en termes géométriques par une ensemble infini de champs de vecteurs compliqués sur l’espace des modules des variétés de Poisson: la quantification d’une telle variété est indépendante de la règle de Feynman si et seulement si elle correspond à un point fixe de tout les champs de vecteurs. De cette façon, on peut réduire le problème à l’étude locale de l’espace des modules, c’est-à-dire la théorie de la déformation des crochets de Poisson.

Malgré cette image conceptuelle attrayante, on ne sait pas si cette action est triviale ou non, en raison d’un manque d’exemples. La recherche proposée repondra à ce question pour une classe de chrochets de Poisson: les crochets « holonomiques » que j’ai introduit récemment avec Schedler, et pour lequels l’espace de déformation peut être décrit topologiquement (à l’aide des faisceaux pervers). De cet façon, on va établir, pour la première fois, l’unicité de la quantification de nombreux examples d’importance en algèbre et en physique mathématique.